Simulating Pencils Drawing on Paper

이Non-Photorealistic Computer Graphics  책 해석

연필심 : core , lead

흑연(graphite) 또는 왁스(wax) 또는 점토(clay)의 혼합물이다.

흑연은 마크를 생성한다.

왁스는 윤활류 역활을 한다.

점토는 함께 묶어주는 역할을 한다.

왁스는 거의 5%로 혼합되는 비율이 정해져있다.

흑연과 점토의 양에 따라 연필심의 강도가 정해진다.

이 양에 따라 9H 부터 8B까지 나눠진다.

H 는 Hard, B는 Black을 의미하고 뒤에 숫자는 강도를 나타낸다.

연필이 모델링 되었지만 종이 모델링은 더하다. 무게와 질감이 매우 다양하기때문에 

종이 두께는 grams per square inch (gsi)로 측정된다. 48 gsi에서 300 gsi 까지.

그냥 종이와 스케치한 종이를 현미경으로 크게 확대해서 보면 hard pencil의 shapness는 종이의

fiber가 손상되면서 생기는 것이다.

Pencil Model

어느정도까지 날카롭냐와 얼마나 긴시간 얼마만큼의 강도로 그렸느냐가 모델링의 중요한 부분이다.

연필의 끝 모양 typical, broad, chisel 로 나눈다.

그리고 연필끝을 3개 또는 그 이상의 에지를 가지는 컨벡스 폴리곤으로 구성되어있다고 간주한다. 

사용자의 압력에 따라 종이에 묻는 연필심양이 달라진다.

연필끝 폴리곤은 n개의 vertices로 이뤄져있다.

그리고 압력 계수는 n+1단계로 이뤄져 있다. 

여기서 는 연필심 중심부에서 압력이다. 그리고 나머지 C들은 각 대응되는 폴리곤의 v에서의 압력이다. 

vertices를 제외한 연필심 안 위치에서 압력은 linear interpolation으로 정의된다.

높은 값을 가질 수록 보다 많은 면적이 종이와 닺는 것이다.

일반적으로 압력 계수 c는 종이와 연필심이 종이와 닺는 비율을 나타낸다.

아래 그림에서 위치가 위아래로 변한다. 

Paper Model

종이는 height field 로 0에서 1사이 값으로 표현 될 수 있다. 0 <= h <= 1.

height field 는 절차적으로 또는 digitized paper sample에서 추출될 수 있다.

종이의 거친 표면의 가장 작은 요소는 grain이다. grain에 연필심이 채워진다.

 grain은 종이의 네 꼭지로로부터 정의 된다. h1, h2, h3, h4.

h1은 종이의 위치 (x, y), h2, h3, h4는 이웃하는 점들이다. 아래 그림과 같이.

우리는 각 grain이 최대 만큼 채워진다고 가정할 수 있다.

1. h1, h2, h3, h4 가 균등하다면 는 고정 상수 이다. 이 것이 의미하는 바는 최대치의 연필이 채워질 수 있다는 것이다.

근본적으로, 오직 약간의 연필심이 얇은 막을 이루며 칠해진다.  명료성을 위해 에 특정 값을 할당 할 수 있다. 

예를 들어 500 lpu( lead particle units) 로 지정 할 수 있다.

2. h1, h2, h3, h4 가 균등하지 않다면, 우리는 를 정의 할 수 있다. 

는 Figure 4.11 (c) 에서 h1~4에 의해 잘린면 상단의 부피이다.

다음과 같이 계산된다.

이제 연필심이 묻을 수 있는 최대치가 계산되어진다.

여기서 는 grain 공간을 완전히 채우기 위한 연필심의 양이다. [1000, 3000] lpu.

는 종이 종류에 따른 연필심 최대 소실양과 대응된다고 볼 수 있다.

원리에 따르면, 연필심은 고르지 않은 영역에서 묻어 날 수 있고

그 양은 종이의 높이 "teeth"에 따라 다르다.

와에 는 실제 관측을 통해 측정된 값이므로 다른 종이의 성질을 반영하려면 바뀔 수 있다.

마침내, 우리는 종이 위의 위치()간에의 분포를 계산할 수 있다. 

더 높은 값을 가진다면 더 많은 연필심이 그 위치에 묻어난다. 

각 위치는 가 할 당된다.  이 것은 k를 위한 local lead volume이다.

각 h는 최대 4번 공유되기때문에, 최종 값 는 를 공유한는 4개 grain의 합이다.

Model of Pencil-Paper Interaction

두 모델로 인해 이제 우리는 pencil과 종이의 상호작용을 실험할 수 있다.

pencil의 강도와 압력이 최종 그려짐에 있어서 주요한 변수이다.

종이에 있는 각 grain, 연필심 양이 얼마만큼 묻을지 계산한다.

grain 부피를 계산하기 전에, 연필 끝에 의해 만져질 grain들은 식별되어야하며

그들 각각을 위한 평균 압력()은 계산되어져야한다.

그 다음 연필심이 묻을 양은 아래 4 step으로 진행된다.

1. ( 연필심이 종이에 들어갈 깊이 계산)

grain 안에 들어갈 연필심 깊이 계산

연필심이 height field를 파고 들어 갈 깊이 은 압력 에비례한다.

그렇지만 보다 깊을 수는 없다.

위 수직의 의미를 기하학적으로 보면 평면이 grain을 자르는 것으로 볼 수 있다.

2.  (연필심이 종이에 들어간 부피)

위에서 연필심이 종이에 들어 갈 수 있는 깊이를 계산하였으므로 

실제로 연필심이 종이에 들어간 부피를 계산 하자.

을 높이로 가지는 사각 다면체의 넓이와 같다.

모든 높이가 보다 높거나 같으면 이다.

3. 연필 유형에 따라 부피를 스케일하자

연필심이 그려지는 양은 연필의 딱딱한 정도에 따라 다르다. 

스케일 펙터를 로 주로 사용한다. 작을 수록 딱딱한 연필이고 클수록 부드러운 연필이다.

이 스케일 펙터는 상수로 정의 될 수 있다. 

그러나 보다 정확히 정의하자면 압력에 따라 달라진다.

4.

grain의 높이에 따라 연피심의 분포계산하자

에서 연필심이 나오는 양은 에 비례한다.

마침내, 각 grain에서 밝기가 결정됐다. grain k 에서 더 많은 연필심이 나왔다면 더 어둡게 에 반영된다.

연필심 양은 왁스, 흑연, 점토의 비율로 모델링되었다. grain k 에서 흑연양 가 주어지면, 

만약 종이 표면을 완전히 덮을 수 있는 양의 연필심양이 아래 수식과 같다면

반영되는 밝기 는 아래 수식과 같이 근사화 된다.

위 식은 주어진 grain k 에서 밝기의 일부이다.

Result