조건부 확률(Conditional Probability)

1. 확률 이란 ?

전체 사건 중 특정 사건이 발생하는 비율이다.

E = "주사위를 한 번 던졌을 때 1이 나올 확률" 전체 사건 : 1~6; 특정 사건 : 1.

2. 조건부 확률이란 ?

전체 사건 중 특정 사건 발생 조건을 이미 알고 특정 사건이 발생하는 비율이다.

F = "주사위를 던졌을 때 홀수가 나왔음을 이미 알고 1이 나올 확률" 전체 사건 : 1~6; 특정 사건 발생 조건 : 홀수; 특정 사건 : 1.

- "주사위를 한 번 던졌을 때 1이 나올 확률"

P(E) = P(X =1) = 1/6

- "주사위를 던졌을 때 홀수가 나왔음을 이미 알고 1이 나올 확률"

P(E|F) = P(X=1|X=홀수) = P(X=1 and X=홀수)/P(X=홀수)= P(X=1)/P(X=홀수) = (1/6)/(3/6) = 1/3

P(X=1) and P(X=1=홀수) = P(X=1) and 1 = P(X=1) 

영어로 표현하자면 The conditional probability of E given F

3. 중요 뽀인트

조건부 확률은 Sample space가 변하는 것이다; S={1,2,3,4,5,6} -> S'={1,3,5}.

4. 수식화

P(E|F) = P(E and F)/P(F), P(F) /= 0; 0이 아니다.

5. 도식화 

그림 1. 조건부확률 도식화

Sample space S는  B이다.

6. 예제 1 (조건부 확률)

돈을 벌수 있는 방법이 A 부터 D 까지 있다고 가정하고 아래 예제를 남녀의 년간 평균 수익이라고 생각하자. 

	A	B	C	D	Total
여자(F)	616	194	30	16	856
남자(M)	529	171	44	26	770
Total	1145	365	74	42	1626

표 1. 남녀의 년간 평균 수익

P(M|A) = 529/1145 = P( M and A) / P(A) 

7. 수식 변환( 베이시안 룰 유도)

Sample space의 확률을 양변에 곱해주면

P(A|B) = P(A and B)/P(B) -> P(A|B)P(B) = P(A and B)

결합 확률의 교환 법칙을 위식에 적용하면

P(A and B) =  P(B and A) 

P(A|B)P(B) = P(B|A)P(A)

P(B)로 위 식의 양변을 나눠주면

P(A|B) = P(B|A)P(A) / P(B) : Bayesian rule

다시 정리 

조건부 확률 -> 결합 확률의 교환 법칙 -> 베이시안 룰

8. 예제1 수식의 분모 변환 ( 주변 확률을 이용한 조건부확률 변환)

	A	B	C	D	Total
여자(F)	616	194	30	16	856
남자(M)	529	171	44	26	770
Total	1145	365	74	42	1626

표 1. 남녀의 년간 평균 수익

P(M|A) = 529/1145 = P( M and A) / P(A) 

A를 기준으로 봤을때 A를 분할 하는 것은 F,M이다.

P(A) = P( A and F ) + P( A and M ) : Marginal Probability(주변 확률)

P(A) = P( A|F )P(F) + P( A|M )P(M)

P(M|A) = P(A|M)P(M) / (P( A|F )P(F) + P( A|M )P(M) ) 

확률 -> 주변확률 -> 조건부확률

9. 예제2 (결합 확률)

E : 엔화에 비하여 달러가 하락하는 경우

F : 회사에서 재협상을 요구하는 경우

P( E ) = 0.4; 증시에서 달러가 하락하는 확률

P( F|E ) = 0.8 ; 달러가 하락 된 상황에서 재협상을 요구하는 확률

P( E and F ) = P(F|E)P(E) = 0.8*0.4 = 0.32; 증시에서 달러가 하락하고 재협상을 요구하는 확률

10. 독립 사건(Independent Events)

A와 B가 독립 사건이라면 

P( A and B ) = P(A)P(B) 이기 때문에

P( A|B) = P( A and B ) / P(B) = P(A)P(B)/P(B) = P(A) 이다.

즉, P( A|B) = P(A) , A and B are independent events.

- 배반 사건(Mutually Exclusive Events, Disjoint Event)

 A : "주사위를 한번 던졌을 때 홀수가 나오는 사건"

 B : "주사위 한번 던졌을 때 짝수가 나오는 사건"

A와 B는 동시에 일어나지 않음으로 배반사건이다. P(A and B) = 0.

- 독립 사건

 A : "주사위를 한번 던졌을 때 홀수가 나오는 사건"

 B : "주사위 다시 한번 던졌을 때 짝수가 나오는 사건"

A와 B는 서로 영향을 미치지 않음으로 독립사건이다.

- 여러 사건 간의 독립

A, B ,C 가 서로 독립이라면

P(A and B and C) = P(A and (B and C)) = P(A)*P(B and C) = P(A)*P(B)*P(C)

- 조건부 여러 사건 간의 독립

D가 주어진 상황에서 A, B ,C 가 서로 독립이라면

P(A and B and C | D) =  P(A | D)*P(B | D)*P(C | D)